2.1 Definición de límite.

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor def puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.
Funciones en espacios métricos

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe unδ > 0 tal que para todo número real x en , tenemos que

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Su póngase f : (M, d_M) -> (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, p) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

si  , entonces 

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues

0 < | x - a | implica x distinto de a,

mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.

Fuente: http://salgadowendy.es.tl/2-.-1Definicion-de-limite.htm