3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones. Universidad Sn Juan

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

Derivada de una suma.

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.
Es decir,

(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)

\frac{d[f(x)+g(x)]}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}

.
Como ejemplo consideremos la función

f(x)=3x^{5}+x^{3}

, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

f '(x)=15x^{4}+3x^{2}

Derivada de un producto.

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:
"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."
Y matemáticamente expresado por la relación

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

. Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)

Identificamos a

f(x)=(4x+2)

g(x)=(3x^{7}+2)

, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x)=4

y que

g'(x)=21x^{6}

Por lo tanto

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir

(f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'

en donde

p = g\cdot h

(sin importar que dos funciones escogemos).

Derivada de un cociente.

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}

Es decir:
"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".
Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función: