Diferenciación de funciones por incrementos.
Incrementos y diferenciales: Dada una función z = f(x, y), se llama incremento de la función, cuando x e y se incrementan ∆x e ∆y, a:
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)
y se llama diferencial total a:
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)
y se llama diferencial total a:
Diferencial de una función en un punto Una función z = f(x, y) es diferenciable en (a, b) si su incremento se puede expresar como:
para lo que se debe cumplir que:
Condición suficiente de diferenciabilidad:
Si una función y sus primeras derivadas parciales son continuas en un abierto, entonces es diferenciable en el abierto.
Condiciones necesarias de diferenciabilidad:
Si una función es diferenciable en un punto entonces es continua y admite derivadas parciales primeras en el punto.
Uso de la diferencial como aproximación:
Despreciando los términos que tienden a cero, si una función es diferenciable en (a, b) entonces se verifica la siguiente fórmula para la estimación de errores:
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